Question

17．已知方程（ax+1）²=a²（1-x²），其中a＞1，证明：方程的正根比1小，负根比-1大．

Answer 1

分析 由方程（ax+1）²=a²（1-x²） 可化为y=2（ax）²+2ax+1-a²，当x=-1时，y=（a-1）²＞0，当x=0时，y=（1+a）（1-a）＜0，当x=1时，y=（a+1）²＞0，即可判断2（ax）²+2ax+1-a²=0的两个根的情况．

解答 解：由方程（ax+1）²=a²（1-x²） 可化为y=2（ax）²+2ax+1-a²，
∵a＞1，
∴当x=-1时，y=（a-1）²＞0，
当x=0时，y=（1+a）（1-a）＜0，
当x=1时，y=（a+1）²＞0，
∴y=0的根x₁，x₂满足-1＜x₁＜0＜x₂＜1，即方程正根比1小，负根比-1大．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点，根据抛物线的交点情况判断方程的根的情况，抛物线的解析式和方程之间的关系是解题的关键．