Question

5．如图Rt△ABC，AC=BC=8，正方形DEFG的边长为2，把正方形DEFG按如图1位置摆放（点E与点B重合，其中F、E、B、C在同一直线上）．M为线段AC的中点，正方形DEFG按如图1的起始位置沿射线BM的方向以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度匀速移动，设移动的时间为t秒．当点F在线段AC上时，正方形DEFG停止移动（如图2）．

（1）正方形DEFG移动多少秒时，点D在线段AB上；
（2）在移动过程中，正方形DEFG和△ABM重叠部分的面积为S，请直接写出面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点F在AC上时，将正方形DEFG沿CA平移至点G与点A重合，将正方形DEFG绕点A旋转，在旋转过程中，设直线DE交射线BA于点P，交射线BC于点Q，当△BPQ为等要直角三角形时，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据DE∥AM，可得△BDE∽△BAM，所以$\frac{BE}{BM}=\frac{DE}{AM}$，据此求出BE的值；然后用BE的值除以正方形DEFG运动的速度，求出正方形DEFG移动多少秒时，点D在线段AB上即可．
（2）根据题意，分3种情况：①当0≤t≤2时；②当2＜t≤4时；③当4＜t≤5时，求出面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围即可．
（3）根据题意，分4种情况：①当旋转角为0°时；②当旋转角为45°时；③当旋转角为180°时；④当旋转角为225°时；分类讨论，求出BP的长是多少即可．

解答 解：（1）如图1，，
∵Rt△ABC，AC=BC=8，M为线段AC的中点，
∴AM=CM=8÷2=4，
再Rt△BCM中，
BM=$\sqrt{{BC}^{2}{+CM}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∵DE∥AM，
∴△BDE∽△BAM，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{DE}{AM}$，
∴$\frac{BE}{4\sqrt{5}}=\frac{2}{4}$，
解得BE=2$\sqrt{5}$，
∴t=2$\sqrt{5}÷\sqrt{5}$=2，
即正方形DEFG移动2秒时，点D在线段AB上．

（2）①当0≤t≤2时，如图2，DE交AB于点P，EF交AB于点Q，作MN∥BC交AB于点N，，
∵MN∥BC，M为线段AC的中点，
∴N为线段AB的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵DE∥AM，
∴△BPE∽△BAM，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{PE}{AM}$，
∴$\frac{\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}=\frac{PE}{4}$
解得PE=t．
∵EF∥MN，
∴△BEQ∽△BMN，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{EQ}{MN}$，
∴$\frac{\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}=\frac{EQ}{4}$，
解得EQ=t，
∴S=$\frac{1}{2}PE•EQ$=$\frac{1}{2}$t•t=$\frac{1}{2}$t²．

②当2＜t≤4时，如图3，DG交AB于点P，FG交AB于点Q，延长EF交AB于点H，，
由（2），可得EH=t，
∴FH=t-2，
∵∠QHF=∠ABC=45°，
∴QF=FH=t-2，
∴GQ=2-（t-2）=4-t，
∴PG=4-t，
∴S=2×2-$\frac{1}{2}$（4-t）²=-$\frac{1}{2}$t²+4t-4．

③当4＜t≤5时，如图4，EF交AC于点H，，
∵EF∥BC，
∴$\frac{EH}{BC}=\frac{EM}{BM}$，
∴$\frac{EH}{8}=\frac{\sqrt{5}t-4\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$，
解得EH=2t-8，
∴HF=2-（2t-8）=10-2t，
∴S=GF•HF=2×（10-2t）=20-4t．
综上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{2}t}^{2}，0≤t≤2}\\{-{\frac{1}{2}t}^{2}+4t-4，2＜t≤4}\\{20-4t，4＜t≤5}\end{array}\right.$．

（3）①当旋转角为0°时，如图5，，
点F在AC上，点P、Q分别在BA、BC的延长线上，
△BPQ是等腰直角三角形，
∴BP=BA+AP=$8\sqrt{2}+2\sqrt{2}=10\sqrt{2}$．

②当旋转角为45°时，如图6，，
点P与点D重合，△BPQ为等要直角三角形，
∴BP=BD=BA+AD=8$\sqrt{2}$+2．

③当旋转角为180°时，如图7，，
点P在AB上，点Q在BC上，△BPQ为等要直角三角形，
∴BP=AB-AP=8$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．

④当旋转角为225°时，如图8，，
点P、D重合在AB上，点Q在BC的延长线上，
△BPQ为等要直角三角形，
∴BP=BD=AB-AD=8$\sqrt{2}$-2．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．