Question

10．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=9，∠C=60°，将一个30°角的顶点P放在DC边上滑动（P不与D，C重合），保持30°角的一边平行于BC，与边AB交于点E，30°角的另一边与射线CB交于点F，联结EF．
（1）当点F与点B重合时，求CP的长；
（2）当点F在CB边上时，设CP=x，PE=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当EF=CP时，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠BPC=90°，根据直角三角形的性质求出CP的长；
（2）作FH⊥EP于H，根据直角三角形的性质求出FC、PF的长，根据余弦的概念求出PH的长，根据矩形的性质求出EH，得到y关于x的函数解析式；
（3）作PG⊥BC于G，证明Rt△EBF≌Rt△PGC，得到∠EFB=∠C，得到四边形EFCP是平行四边形，根据平行四边形的性质计算即可．

解答 解：（1）当点F与点B重合时，如图1，
∵EP∥BC，
∴∠PBC=∠EPB=30°，又∠C=60°，
∴∠BPC=90°，
∴CP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$；
（2）如图2，作FH⊥EP于H，
∵∠BPC=90°，∠C=60°，CP=x，
∴FC=2x，
∴FP=$\sqrt{3}$x，又∠EPF=30°，
∴cos30°=$\frac{PH}{PF}$，
∴PH=$\frac{3}{2}$x，
∵四边形EBFH是矩形，
∴EH=BF=9-2x，
∴y=$\frac{3}{2}$x+9-2x=9-$\frac{1}{2}$x（0≤x≤$\frac{9}{2}$）；
（3）当EF=CP时，如图3，
作PG⊥BC于G，
在Rt△EBF和Rt△PGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=PG}\\{EF=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EBF≌Rt△PGC，
∴∠EFB=∠C=30°，
∴EF∥PC，又EP∥BC，
∴四边形EFCP是平行四边形，
∴EP=FC，
即9-$\frac{1}{2}$x=2x，
解得x=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查的是直角梯形的性质、平行四边形的性质和判定，正确作出辅助线、灵活运用锐角三角函数的概念是解题的关键．