Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点．过点D作一直线截原三角形形成小三角形，并使它和原三角形相似．如果AB=10，AC：BC=3：4，AD=6．请求出DE的长．（注：点E是过点D的直线与△ABC另一边的交点）

Answer 1

分析：由题意，这样的小三角形可以作出三个，如下图所示，利用相似三角形的对应边成比例，逐个计算即可．

解答：解：依题意得：AB=10，AC=6，BC=8，BD=4，这样的小三角形可以作出三个．
情况1：过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∴∠BDE=∠A，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．
∴

DE

AC

=

BD

BA

．
∴DE=

BD

BA

•AC=

4

10

×6=2.4．

情况2：过点D作DE∥BC，交AC于点E，
∴∠ADE=∠B，
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴

DE

BC

=

AD

AB

．
∴DE=

AD

AB

•BC=

6

10

×8=4.8．

情况3：过点D作DE⊥AB交BC于点E，
∴∠BDE=90°，
∵∠C=90°
∴∠BDE=∠C，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA
∴

DE

AC

=

BD

BC

．∴DE=

BD

BC

•AC=

4

8

×6=3．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质，属开放型的题目，难度不大，但是容易漏解．