Question

如图，在⊙M中，弦AB所对的圆心角为120度，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）设点P是⊙M上的一个动点，当△PAB为Rt△PAB时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）连接MA，MB，根据等腰三角形的性质可知∠AMO=

1

2

AMB=60°，由直角三角形的性质可求出M点的坐标．
（2）根据△AOM与△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B两点的坐标，因为A、B两点关于y轴对称，故此抛物线关于y轴对称，根据此特点可设出抛物线的解析式，把A、B两点的坐标代入即可求出未知数的值，从而求出其解析式．
（3）设P（m，n），根据P在圆上列出方程及PA²+PB²=AB²即可求解．

解答：解：（1）连MA，MB，如图：
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°，
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）；

（2）∵OC=MC-MO=1  OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1）B（

3

，O），
∵经过A，B，C三点的抛物线关于y轴对称，
∴设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+c，
把C（0，-1）和（

3

，0）分别代入上式，
得：a=

1

3

，c=-1，
∴y=

1

3

x²-1；

（3）连接AM并延长交圆于点P，连接PB，
∵90°的圆周角对的弦是直径，
∴∠P≠90°，
∴∠B=90°或∠A=90°，
当∠B=90°时，AP是直径，
∵弦AB所对的圆心角为120度，
∴∠P=60°，
∴∠A=30°，
∵圆的半径为2cm，
∴AP=4，
∴BP=2，
∴点P的坐标为（

3

，2），
同理可得：当∠A=90°时，点P的坐标为（-

3

，2）．
∴点P的坐标为（

3

，2），（-

3

，2）．

点评：本题考查的是圆的性质及二次函数图象上点的坐标特点，比较复杂，但难度适中，注意细心运算．