Question

已知菱形OABC中，A（0，5），B（3，1），连接AC交x轴于M，线段OA上有一动点P，以每秒1个单位的速度从点O出发向线段的另一端点A运动，到点A后停止运动，运动时间为t秒，过P作PE⊥AC交AB于E，连接PB、BM（如图1）
（1）写出点C、M的坐标；
（2）证明△BME为直角三角形？
（3）连接PB，若∠PBM=∠OAB，求tan∠ABP的值；
（4）如图2，若在线段OC上有一点Q与点P同时从点O出发，以相同的速度向点C运动．问是否存在t的值，使△PQE为等腰三角形，若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）C（3，-4），M（，0）；
（2）△BME是直角三角形，
∵四边形OABC是菱形，
∴直线AC是它的对称轴．
∵PE⊥AC
∴点P和点E，点O与点B都关于AC对称．
∴∠EBM=∠AOM=90°．
∴△BME是直角三角形．
（3）连接OE，
由对称性得：∠PBM=∠EOM．
∵∠PBM=∠OAB，∠APB=∠AEO，
∴∠EOM=∠OAB
∵∠EOM+∠EOA=90°
∴∠OAB+∠EOA=90°
∴∠APB=∠AEO=90°．
∵B（3，1）
∴OP=1，从而AP=4
∴tan∠ABP=．
（4）如图2，连接OB，由题意知：OP=OQ，∠POB=∠QOB
∴OB⊥PQ
由四边形OABC是菱形，知OB⊥AC，PQ∥AC．
∵PE⊥AC，
∴∠QPE=90°
△PQE为等腰三角形，只可能是：PE=PQ．
由△APE∽△AOB得：PE=；
由△OPQ∽△OAC得：PQ=；
∴=，
解得：t=．
即：当t=时，△PQE是等腰三角形．
分析：（1）C与B的横坐标相等，则C的横坐标等于B的横坐标，若过B作y轴的垂线于X，在直角△ABX中，利用勾股定理即可求得AB的长，则BC的长度可以求得，从而求得C的纵坐标；
然后利用待定系数法即可求得AC的解析式，进而求得M的坐标；
（2）根据AC是菱形OABC的对称轴，根据对称性可以证得∠EBM=∠AOM=90，即可得到△BME是直角三角形；
（3）根据对称的性质，可以证得∠APB=90°，即可求得B的坐标．则利用正切函数的定义求解；
（4）根据对称的性质可得：PE⊥AC，则∠QPB=90°，则若△PQE为等腰三角形，只可能是：PE=PQ．根据△APE∽△AOB和△OPQ∽△OAC，用t表示出PE，PQ的长，从而得到一个关于t的方程，即可求解．
点评：本题考查了菱形的性质，正确应用菱形是轴对称图形，利用轴对称的性质是解题关键．