Question

如图，已知点B的坐标为（6，9），点A的坐标为（6，6），点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N、直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E、F两点，且PC：CA=2：3．
（1）当点P运动使得点E为劣弧的中点时，求证：DF=DN；
（2）在（1）的条件下求tan∠CDP的值；
（3）当⊙A的半径为5，且△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）证明：如图，连接NF，
∵CD⊥AP，
∴弧PE=弧PF，
又∵点E为劣弧PN的中点，
∴弧PE=弧NE，
∴弧EN=弧PF，
∴∠PNF=∠EFN，
∴DF=DN；

（2）解：如图，连接AE、AN，AE交PN于Q点，
∵弧PE=弧NE，
∴AE⊥PN，
∵CD⊥AP，
∴∠DCP=∠AQP=90°，
∴∠QAP=∠CDP，
∵PC：CA=2：3，不妨设⊙A的半径为5k，则CA=3k，AE=5k，
在Rt△ACE中，EC==4k，
∴tan∠CDP=tan∠EAC==；

（3）解：过点A作AQ⊥PB于Q，如图，
∵⊙A的半径为5，PC：CA=2：3，
∴PC=2，
∵∠PCD=∠PQA=90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PQA，
∴PD：PA=PC：PQ，
∴PD===，
当PQ最小时，PD最大，
∵AQ≤AB，
∴AQ=AB时，AQ最大，此时AB⊥PB，
而PQ=，
此时PQ最小，则PD最大，
又∵CD=，
∴此时CD最大，
即AB⊥PB时，CD最大，如图，
而S_△APD=AP•DC，
∴此时△APD的面积也达到最大，
∵点B的坐标为（6，9），点A的坐标为（6，6），
∴AB=3，
∴PB==4，
∴点P的坐标为（2，9），或（10，9）．
分析：（1）连接NF，由CD⊥AP，根据垂径定理得到弧PE=弧PF，而弧PE=弧NE，则弧EN=弧PF，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠PNF=∠EFN，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接AE、AN，AE交PN于Q点，弧PE=弧NE，根据垂径定理的推论得到AE⊥PN，而CD⊥AP，则∠DCP=∠AQP=90°，根据等角的余角相等得到∠QAP=∠CDP，由PC：CA=2：3，不妨设⊙A的半径为5k，则CA=3k，AE=5k，在Rt△ACE中，根据勾股定理计算EC==4k，根据正切的定义即可得到tan∠CDP=tan∠EAC==；
（3）过点A作AQ⊥PB于Q，由⊙A的半径为5，PC：CA=2：3，得到PC=2，易证Rt△PCD∽Rt△PQA，则PD：PA=PC：PQ，所以PD===，当PQ最小时，PD最大，而AQ≤AB，则AQ=AB时，AQ最大，此时AB⊥PB，由PQ=，得到此时PQ最小，则PD最大，又因为CD=，得到此时CD最大，即AB⊥PB时，CD最大，由S_△APD=AP•DC得到此时△APD的面积也达到最大，
由点B的坐标为（6，9），点A的坐标为（6，6），可得AB=3，利用勾股定理可计算出PB=4，于是可得到点P的坐标为（2，9），或（10，9）．
点评：本题考查了圆的综合题：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦所对弧的直径垂直平分弦；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；运用相似三角形的判定与性质可得到线段的比例关系；运用勾股定理和三角函数进行几何计算．