Question

如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求BE和CG的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,切线长定理,相似三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根据切线长定理得出OB、OC平分∠EBF和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠DCB）=

1

2

×180°=90°．从而证得∠BOC是个直角，从而得出BO⊥CO；
（2）根据勾股定理求得AB=10cm，根据Rt△BOF∽Rt△BCO得出BF=3.6cm，根据切线长定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，从而求得BE和CG的长．

解答：（1）证明：∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠DCB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠DCB）=

1

2

×180°=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BO⊥CO．

（2）解：连接OF，则OF⊥BC，
∴Rt△BOF∽Rt△BCO，
∴

BF

BO

=

BO

BC

，
∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm，
∴BC=

62+82

=10cm，
∴

BF

6

=

6

10

，
∴BF=3.6cm，
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，
∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4cm．
∴CG=CF=6.4cm．

点评：本题主要考查了切线长定理、勾股定理、相似三角形的综合运用，正确理解切线长定理是解决本题的关键所在，虽然涉及的考点较多，但难度一般．