Question

【题目】（2017济宁，第21题，9分）已知函数的图象与x轴有两个公共点．

（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为C1．

①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；

②函数的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）m＜且m≠0，；（2）①﹣2；②．

【解析】试题分析：（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；

（2）先求得抛物线的对称轴，当n≤x≤﹣1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当当x=n时，y有最大值﹣3n，然后将x=n，y=﹣3n代入求解即可；

（3）先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求得点P的坐标，从而可得到函数C2的解析式．

试题解析：（1）∵函数图象与x轴有两个交点，∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，解得：m＜且m≠0．

∵m为符合条件的最大整数，∴m=2，∴函数的解析式为．

（2）抛物线的对称轴为x= =．

∵n≤x≤﹣1＜，a=2＞0，∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小，∴当x=n时，y=﹣3n，∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去），∴n的值为﹣2．

（3）∵=，∴M（，）．

如图所示：

当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．

设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：，解得：k=，∴OM的解析式为y=x．

设点P的坐标为（x，x）．

由两点间的距离公式可知：OP==5，解得：x=2或x=﹣2（舍去），∴点P的坐标为（2，1），∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为 ．