Question

4．如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB=$\frac{1}{2}$MN（OD+DB）=$\frac{1}{2}$MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S_△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），则：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1；
∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
故直线BC的解析式：y=-x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，-m+3）、N（m，-m²+2m+3）；
∴故MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；
∵S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB=$\frac{1}{2}$MN（OD+DB）=$\frac{1}{2}$MN•OB，
∴S_△BNC=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）•3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$（0＜m＜3）；
∴当m=$\frac{3}{2}$时，△BNC的面积最大，最大值为 $\frac{27}{8}$．

点评 该二次函数题较为简单，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法．（3）的解法较多，也可通过图形的面积差等方法来列函数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法．