Question

（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．

Answer 1

分析：（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABO≌△CBO，则∠BCO=∠BAO=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，
由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．

解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，
∵AB与⊙O切于A点，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，
在△ABO和△CBO中

AB=CB OA=OC OB=OB

，
∴△ABO≌△CBO（SSS），
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；

（2）解：∵△ABO≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，DA=DC，
∴点O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
而CB=CD，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．

点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．