如图.在?ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.OA=5cm.E.F为直线BD上的两个动点(点E.F始终在?ABCD的外面).且DE=$\frac{1}{2}$OD.BF=$\frac{1}{2}$OB.连接AE.CE.CF.AF．(1)求证:四边形AFCE为平行四边形．(2)若DE=$\frac{1}{3}$OD.BF=$\frac{1}{3}$OB.上述结论还成立吗?由此你能得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=5cm，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在?ABCD的外面），且DE=$\frac{1}{2}$OD，BF=$\frac{1}{2}$OB，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若DE=$\frac{1}{3}$OD，BF=$\frac{1}{3}$OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？
（3）若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四边形AECF的周长．

分析（1）由平行四边形的性质可知OA=OC、OB=OD，结合DE=$\frac{1}{2}$OD、BF=$\frac{1}{2}$OB可得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；
（2）由DE=$\frac{1}{3}$OD、BF=$\frac{1}{3}$OB可得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若DE=$\frac{1}{n}$OD，BF=$\frac{1}{n}$OB，则四边形AFCE为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD=CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC=60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长．

解答解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵DE=$\frac{1}{2}$OD，BF=$\frac{1}{2}$OB，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
（2）∵DE=$\frac{1}{3}$OD，BF=$\frac{1}{3}$OB，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
∴上述结论成立，由此可得出结论：若DE=$\frac{1}{n}$OD，BF=$\frac{1}{n}$OB，则四边形AFCE为平行四边形．
（3）在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD．
∵OA=OC，
∴OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE．
∵∠AEC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE=AC=2OA=10cm，
∴C_{四边形AECF}=2（AE+CE）=2×（10+10）=40cm．

点评本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形AFCE为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形AFCE为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出△ACE是等边三角形．

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