Question

如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，
（1）求证：AC²=CE•CF；
（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据已知条件得出∠CFA=∠BAC，再利用相似三角形的判定得出△CAF∽△CEA，即可得出AC²=CE•CF；
（2）先证出△CAD∽△CBA，得出CA²=CB×CD，再根据CA²=CF×CE，得出CD•BC=CF•CE，从而证出△CDF∽△CEB，得出∠CFD=∠B=38°．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CFA=∠BAC，
∵∠ACF=∠FCA，
∴△CAF∽△CEA，
∴

AC

CE

=

CF

CA

，
∴CA²=CE•CF；

（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA，
∴

CA

CB

=

CD

CA

，
∴CA²=CB×CD，
同理可得：CA²=CF×CE，
∴CD•BC=CF•CE，
∴

CF

BC

=

CD

CE

，
∵∠DCF=∠ECB，
∴△CDF∽△CEB，
∴∠CFD=∠B，
∵∠B=38°，
∴∠CFD=38°．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，关键是综合利用相似三角形的判定与性质得出∠CFD=∠B．