Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠ABC的度数为

1. A.
   54°
2. B.
   60°
3. C.
   63°
4. D.
   72°

Answer 1

C
分析：首先连接OC，设∠OCE=x°，由折叠的性质易得：∠COE=∠OCE=x°，又由三角形三边的垂直平分线的交于点O，可得OB=OC，且O是△ABC外接圆的圆心，然后利用等边对等角与三角形外角的性质，可用x表示出∠OBC、∠BOE，∠OEB的度数，又由三角形内角和定理，可得方程x+2x+2x=180，解此方程求得∠OCE的度数，继而求得∠ABC的度数．
解答：解：连接OC，
设∠OCE=x°，
由折叠的性质可得：OE=CE，
∴∠COE=∠OCE=x°，
∵三角形三边的垂直平分线的交于点O，
∴OB=OC，且O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠OBC=∠OCE=x°，∠BOC=2∠A，
∵∠OEB=∠OCE+∠COE=2x°，BE=BO，
∴∠BOE=∠OEB=2x°，
∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB=180°，
∴x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠OBC=∠OCE=36°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCE=108°，
∴∠A=∠BOC=54°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==63°．
故选C．
点评：此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及三角形外接圆的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．