Question

已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．
（1）求证：AF=DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠CAE
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B
∴∠ADE=∠DAE
∴EA=ED
∵DE是半圆C的直径
∴∠DFE=90°
∴AF=DF

（2）解：连接DM
∵DE是半圆C的直径
∴∠DME=90°
∵FE：FD=4：3
∴可设FE=4x，则FD=3x
∴DE=5x
∴AE=DE=5x，AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x（3x+3x）=AM•5x
∴AM=x
∴ME=AE-AM=5x-x=x
在Rt△DME中，cos∠AED=

（3）解：过A点作AN⊥BE于N
∵cos∠AED=
∴sin∠AED=
∴AN=AE=x
在△CAE和△ABE中
∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA
∴△CAE∽△ABE
∴
∴AE²=BE•CE
∴（5x）²=（10+5x）•x
∴x=2
∴AN=x=
∴BC=BD+DC=10+×2=15
∴S_△ABC=BC•AN=×15×=72．
分析：（1）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；
（2）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出；
（3）根据△ABC的面积公式求出BC，AN的长是关键，根据题意由三角函数及相似比即可求出．
点评：本题考查相似三角形的判定，切割线定理，勾股定理，圆周角定理等知识点的综合运用．