Question

如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL=∠ABC，其中正确的结论是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①④
3. C.
   ①②③④
4. D.
   ①②

Answer 1

C
分析：根据角平分线定义求出∠ABE=∠EBC=∠C，根据等角对等边求出BE=CE，即可判断①；
证△ABE∽△ACB，推出AB²=AE×AC，求出AF²=AB²-BF²=AE²-EF²，把 AB²=AE×AC代入入上式即可求出BF=AE+EF，即可判断②；
延长AB到N，使BN=BM，连接MN，证△AMC≌△AMN，△AFB≌△BLF，推出AB=BL，即可判断③；
设∠LAC=x°，∠LAM=y°，则∠BAM=∠MAC=（x+y）°，证△AFB≌△BLF推出∠BAF=∠BLF，∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，得出方程x°+y°+y°=∠C+x°，求出∠C=2y°，∠ABC=4y°，即可判断④．
解答：解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC=∠ABE=∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABE=∠EBC=∠C，
∴BE=EC，∴①正确；
∵∠ABE=∠ACB，∠BAC=∠EAB
∴△ABE∽△ACB，
∴=，
∴AB²=AE×AC，
在Rt△AFB与Rt△AFE中，由勾股定理得：AF²=AB²-BF²=AE²-EF²，
把 AB²=AE×AC代入入上式得：
AE×AC-BF²=AE²-EF²，
则BF²=AC×AE-AE²+EF²=AE×（AC-AE）+EF²=AE×EC+EF²=AE×BE+EF²，
即（BE-EF）²=AE×BE+EF²，
∴BE²-2BE×EF+EF²=AE×BE+EF²，
∴BE²-2BE×EF=AE×BE，
∴BE-2EF=AE，
BE-EF=AE+EF，
即BF=AE+EF，∴②正确；
延长AB到N，使BN=BM，连接MN，则△BMN为等腰三角形，
∴∠BNM=∠BMN，
△BNM的一个外角∠ABC=∠BNM+∠BMN=2∠BNM，
则∠BNM=∠ACB，
在△AMC与△AMN中
，
∴△AMC≌△AMN（AAS），
∴AN=AC=AB+BN=AB+BM，
又∵AL⊥BE，
∴∠AFB=∠LFB=90°，
在△AFB与△LFB中，
，
∴△AFB≌△BLF（ASA），
∴AB=BL，
则AN=AC=AB+BN=AB+BM=BM+BL，即AC=BM+BL，∴③正确；
设∠LAC=x°，∠LAM=y°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠MAC=（x+y）°．
∵△AFB≌△BLF，
∴∠BAF=∠BLF，
∵∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，
∴x°+y°+y°=∠C+x°，
∴∠C=2y°，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=4y°，
即∠MAL=∠ABC，
∴④正确．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用．