Question

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC，交AB于点F，连接CF．
（1）图中的哪些三角形相似？请证明你的判断；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，图中所有的三角形都两两相似？请说明理由．

Answer 1

解：（1）图中△AEF，△ECF和△DCE两两相似．
设FE与CD的延长线交于G，
因为E是AD的中点，CE⊥EF，
所以△AEF≌△DEG，△CEF≌△CEG．
Rt△CEG中ED⊥CG，
所以△CED，△EGD都与△CGE相似．
所以判断△AEF，△ECF和△DCE两两相似为真．

（2）要使图中三角形全部相似，根据（1），只要使△ECF∽△FCB，
但这两个直角三角形有公共斜边，
所以△ECF≌△FCB，
又因为AB与CE不平行，
所以∠2=∠3，但∠2=∠1，
所以∠1=30°．
∴ED：CD=1：．
故要使图中三角形全部相似的条件是AD：CD=2：．
分析：（1）两个角相等的三角形，为相似三角形．设FE与CD的延长线交于G，因为E是AD的中点，证明三角形相等，进而证明相似．
（2）矩形的四个角相等，对边相等，根据相似三角形的对应边成比例，求出ED和CD的值，进而求出AD和CD的值．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质定理，矩形的性质定理，相似三角形的判定定理，要熟记这些性质和判定定理可求出解．