Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，以D为圆心、2为半径画圆，点G是⊙D上任意一点，连接GD、AG．将GD绕点D按顺时针方向旋转90°，得到DH，连接CH、GH．
（1）当CH与⊙D相切时，
①求证：AG与⊙D相切；
②求点H到CD的距离．
（2）请直接写出点B到CH的距离的最大值．

Answer 1

考点：切线的判定,正方形的性质,旋转的性质

专题：证明题

分析：（1）①根据切线的性质由CH与⊙D相切得到∠CHD=90°，根据正方形的性质得∠ADC=90°，DA=DC，根据旋转的性质得∠GDH=90°，则利用同角的余角相等得∠ADG=∠CDH，再证明△ADG≌△CDH，得到∠AGD=∠CHD=90°，然后根据切线的判定定理得到AG与⊙D相切；
②作HE⊥CD于E，在Rt△CDH中，根据勾股定理出计算CH=2

3

，再根据面积法得

1

2

HE•CD=

1

2

CH•DH，即可计算出HE=

3

；
（2）当点H为CD⊙的交点时，点B到CH的距离最大，最大值为BC的长．

解答：（1）①证明：∵CH与⊙D相切，
∴DH⊥CH，
∴∠CHD=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∵GD绕点D按顺时针方向旋转90°，
∴∠GDH=90°，
∴∠ADG+∠GDC=∠GDC+∠CDH，
∴∠ADG=∠CDH，
在△ADG和△CDH中

DA=DC ∠ADG=∠CDH DG=DH

，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴∠AGD=∠CHD=90°，
∴AG⊥DG，
∴AG与⊙D相切；
②解：作HE⊥CD于E，如图，
在Rt△CDH中，DH=2，CD=4，
∴CH=

CD2-DH2

=2

3

，
∵

1

2

HE•CD=

1

2

CH•DH，
∴HE=

2×2 3

4

=

3

；
（2）解：点B到CH的距离的最大值为4．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了切线的性质、旋转的性质和正方形的性质．