Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，DB平分∠ABC，AD=2，翻折梯形ABCD使点B与点D重合．
（1）画出翻折图形，并求出折痕的长；
（2）若BC=3AD，（1）中的折痕与底边BC的交点为E，求：的值．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，DB平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠DBE=∠ADB=30°，
∴AB=AD，
当把梯形ABCD翻折使B点与点D重合，
则折痕过点A，AE与BC交于点E
∴四边形ABED为菱形，
又∵AD=2，
∴折痕AE=2．

（2）由（1）知四边形ABED为菱形，
∴AD=AB=BE=DE，∠DEC=60°，
过点D作DF⊥BC于F．
∴EF=DE，
设EF=a，则DE=2a．
∴DF=a，
又∵BC=3AD=3BE，
∴EC=2BE=2DE=4a，
∴FC=3a，
在Rt△DFC中，
DC²=DF²+FC²，
∴DC=2a，
∴=．
分析：（1）要画翻折图形，首先确定折痕的位置．根据翻折梯形ABCD使点B与点D重合，则折痕是BD的垂直平分线．再根据已知条件得到AB=AD，则折痕一定过点A，交BC于点E，则四边形ABED即是菱形．再根据等边三角形的判定和性质即可求得折痕AE的长；
（2）作DF⊥BC于F．得到30度的直角三角形DEF．若设EF=a，则DE=2a，DF=a．根据BC=3AD和菱形的四条边都相等，得到CE=2DE=4a，则CF=3a．根据勾股定理求得CD=2a，最后求得它们的比值即可．
点评：本题考查了折叠变换，此题要能够根据等腰三角形的判定和性质得到折痕过点A，综合运用菱形的判定和性质、30度的直角三角形和勾股定理进行计算．