Question

已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．

Answer 1

分析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°；而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧；因此本题要分类讨论．

解答：解：情形一：如左图所示，连接OA、OB，在⊙上任取一点，连接CA，CB，
∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=

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2

∠AOB=30°，
即弦AB所对的圆周角等于30°；
情形二：如图所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，
连接AD、OD、BD，则∠BAD=

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∠BOD，∠ABD=

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2

∠AOD，
∴∠BAD+∠ABD=

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2

（∠BOD+∠AOD）=

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2

∠AOB，
∵AB的长等于⊙O的半径，
∴△AOB为等边三角形，∠AOB=60°，
∴∠BAD+∠ABD=30°，∠ADB=180°-（∠BAD+∠ABD）=150°，
即弦AB所对的圆周角为150°．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，以免漏解．