Question

点B与点P都在反比例函数y=

k

x

（k＞0）（x＞0）第一象限的图象上，其中P为反比例函数该图象上的一个动点，且OB=4，过B，P作x轴垂线垂足分别为A，C，∠BOA=30°．设P（m，n），Rt△AOB与Rt△COP重合部分面积为S．
（1）求反比函数的解析式；
（2）求S与m的函数关系．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数综合题

分析：（1）利用OB=4，∠BOA=30°求得线段AB和线段OA的长即可得到点B的坐标，进而可以求得经过点B的双曲线的解析式；
（2）当P点在B点左边时，求得线段OB所在直线的解析式，然后求得线段OB和线段PC的交点坐标，进而可以表示出面积S，当P点在B点右边时，求出AD的长，进而得出S．

解答：解：（1）∵OB=4，过B，P作x轴垂线垂足分别为A，C，∠BOA=30°，
∴BA=

1

2

OB=2，
∴OA=

3

AB=2

3

，
∴点B的坐标为：（2

3

，2），
∵点B在反比例函数y=

k

x

（k＞0）（x＞0）第一象限的图象上，
∴2=

k

2 3

，
解得：k=4

3

，
∴反比例函数的解析式为：y=

4 3

x

；

（2）如图1，当P点在B点左边时，
设线段OB所在直线的解析式为：y=kx，
∵y=kx经过B点，
∴2

3

k=2，
解得：k=

3

3

，
∴线段OB所在直线的解析式为：y=

3

3

x．
∵P点的坐标为（m，n），PC⊥x轴于点C，
∴D点的横坐标为m，
∵点D在直线：y=

3

3

x上，
∴点D的纵坐标为

3

3

m，
∴线段OC=m，线段CD=

3

3

m，
∴S=

1

2

OC•CD=

1

2

×m×

3

3

m=

3

6

m²．
如图2，当P点在B点右边时，
∵P点的坐标为（m，n），且在反比例函数y=

4 3

x

上，
∴P点坐标为：（m，

4 3

m

），
∵AD∥PC，
∴△OAD∽△OCP，
∴

AO

CO

=

AD

PC

，
∴

2 3

m

=

AD

4 3 m

，
∴AD=

24

m2

，
∴S=

1

2

OA•AD=

1

2

×2

3

×

24

m2

=

24 3

m2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是能够将点的坐标转化为线段的长，从而用点的坐标表示出三角形的面积．