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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H.
(1)直接写出点E的坐标:
(2)求证:AG=CH.
(3)如图2,以O为圆心,OC为半径的圆弧交OA与D,若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F,求直线GH的函数关系式.
(4)在(3)的结论下,梯形ABHG的内部有一点P,当⊙P与HG、GA、AB都相切时,求⊙P的半径.

【答案】
(1)(1,
(2)解:证明:∵矩形OABC,

∴CE=AE,BC∥OA,

∴∠HCE=∠EAG,

∵在△CHE和△AGE中

∴△CHE≌△AGE,

∴AG=CH


(3)解:解:如图2,连接DE并延长DE交CB于M,连接AC,

∵DO=OC=1= OA,

∴D是OA的中点,

∵BC∥OA,

∴∠MCE=∠DAE,

∵在△CME和△ADE中

∴△CME≌△ADE,

∴CM=AD=2﹣1=1,

∵四边形OABC是矩形,

∴∠MCO=∠COD=90°,CB∥OA,

∵OD=1,OA=2,

∴OD=AD,

∵矩形OABC的对角线交于E,

∴E为中心,

∴DE∥OC,

∴四边形CMDO是矩形,

∴MD⊥OD,MD⊥CB,

∴MD切⊙O于D,

∵HG切⊙O于F,E(1, ),

∴可设CH=HF=x,FE=ED= MD,

在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2

即(1﹣x)2+( 2=( +x)2

解得x=

∴H( ,1),OG=2﹣ =

∴G( ,0),

设直线GH的解析式是:y=kx+b,

把G、H的坐标代入得: k+b=0,且1= k+b,

解得:k=﹣ ,b=

∴直线GH的函数关系式为y=﹣ x+


(4)解:解:如备用图3,连接BG,过P做PN⊥GA,垂足为N,

∵在△OCH和△BAG中

∴△OCH≌△BAG,

∴∠CHO=∠AGB,

∵∠HCO=90°,

∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F,

∴OH平分∠CHF,

∴∠CHO=∠FHO=∠BGA,

∵四边形OCBA是矩形,

∴BC∥OA,BC=OA,

∵CH=AG(已证),

∴BH=OG,BH∥OG,

∴四边形BHOG是平行四边形,

∴OH∥BG,

∴∠OHE=∠BGE,

∵∠CHO=∠FHO=∠BGA

∴∠BGA=∠BGE,

即BG平分∠FGA,

∵⊙P与HG、GA、AB都相切,

∴和∠HGA的两边都相切的圆的圆心在∠HGA的角平分线上,即在GB上

∴圆心P必在BG上,

∴△GPN∽△GBA,

设半径为r,

=

解得:r=

答:⊙P的半径是


【解析】(1)解:E的坐标是:(1, ), 所以答案是:(1, );
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对矩形的性质的理解,了解矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.

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(5)二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由.
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A.
B.
C.1
D.

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