Question

如图，已知A（-1，n），B（，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求方程kx+b-=0的解（请直接写出答案）；
（4）在y轴上是否存在一点P，使三角形PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵B（，-2）是反比例函数 y=的图象的点，
∴m=（-2）×，
∴y=-，
∵A（-1，n）点也在反比例函数 y=的图象上，
∴-n=m=-1，
∴n=1，
∴将A（-1，1），B（，-2）代入y=kx+b得：
，
解得：，
则一次函数解析式为：y=-2x-1；

（2）直线AB与x轴交点C的坐标为：当y=0时，x=-，
则C点坐标为：；
△AOB的面积为：S_△AOC+S_△BOC=××1+××2=；

（3）方程kx+b-=0的解即为两函数图象的交点的横坐标，
故方程kx+b-=0的解为：-1或；

（4）如图所示：∵A（-1，1），
∴AO=，当AO=AP₁=时，P₁坐标为：（0，2），
当AO=OP₂=时，P₂坐标为：（0，），
当AP₃=OP₃=1时，P₃坐标为：（0，1），
当AO=OP₄=时，P₄坐标为：（0，-），
综上所述：在y轴上存在4个点P，使三角形PAO为等腰三角形
分别为：（0，2）（0，1）（0，）（0，一）．
分析：（1）因为A（-1，n），B（，-2）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 y=的图象的两个交点，由m=（-2）×即可求出m的值，确定出反比例解析式，然后把A点坐标代入即可求出n的值，从而求出B点坐标，进而把求出的A、B点的坐标代入一次函数y=kx+b的解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，求出方程组的解就可求出k、b的值；
（2）利用一次函数与x轴交于点C，求出点C的坐标，所以x轴把△AOB的面积分为△AOC和△BOC的面积之和，利用点C横坐标的绝对值，分别乘以点A和点B纵坐标的绝对值，由三角形的面积公式即可求出△AOC和△BOC的面积之和，进而得到△AOB的面积；
（3）根据两函数图象的交点即可求出方程kx+b-=0的解；
（4）分别利用AO为腰或底边结合图形得出P点坐标即可．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及等腰三角形的性质，要求学生能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察方程的解．