Question

20．习题课中，老师给出了这样一个题目：已知关于x的二次函数y=-x²+ax（a＞0），点A（n，y₁），B（n+1，y₂），C（n+2，y₃）都在这个二次函数图象上，其中n为正整数．
教师：现在有以下几个结论：
①此二次函数与坐标轴有且只有两个交点；
②若y₁=y₂则a必为奇数；
③若a=11，且y₁≤y₂≤y₃，则n可取大于等于5的正整数．
④若a=4，不存在正整数n，使得△ABC是以AC为底边的等腰三角形．
请你判断结论的真假，并说明理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．

Answer 1

分析 ①分别令y=0，x=0求得相应的x、y的值来证明该命题是证明题；
②将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y₁=y₂得到用n表示a的式子，即可得到答案；
③将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解；
④本问为存在型问题．如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称．于是得到n+1=$\frac{a}{2}$，从而可以求出n=$\frac{a}{2}$-1．

解答 解：①真命题 证明：令y=0得x₁=0，x₂=a，则与x轴的两个交点为（0，0）、（a，0）；
令x=0得y=0，则与y轴的交点坐标为（0，0）．
 综上得，函数与坐标轴有且仅有两个交点．

②真命题．证明如下：
∵点A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在二次函数y=-x²+ax（a＞0）的图象上，
∴y₁=-n²+an，y₂=-（n+1）²+a（n+1）
∵y₁=y₂，
∴-n²+an=-（n+1）²+a（n+1）
整理得：a=2n+1
∴a必为奇数；

③假命题．证明如下：
当a=11时，∵y₁≤y₂≤y₃
∴-n²+11n≤-（n+1）²+11（n+1）≤-（n+2）²+11（n+2）
化简得：0≤10-2n≤18-4n，
解得：n≤4，
∵n为正整数，
∴n=1、2、3、4．
故该命题为假命题；

④假命题
方法一：举反例：当n=1时，存在这样的等腰三角形，故该命题是假命题．
方法二：证明：假设存在，则BA=BC，如右图所示．
过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．
∵x_A=n，x_B=n+1，x_C=n+2，
∴AD=CE=1．
在Rt△ABD与Rt△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠ABD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．
由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称，
∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，
∴n+1=$\frac{a}{2}$，
∴n=$\frac{a}{2}$-1．
∴a为大于2的偶数，存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=$\frac{a}{2}$-1．
∴当a=4时，n=1，即原命题错误．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题．