Question

7．如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6$\sqrt{3}$，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．
（1）求证：BO=2OM．
（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24$\sqrt{3}$时，求⊙O的半径．
（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．

Answer 1

分析 （1）设⊙O切AB于点P，连接OP，由切线的性质可知∠OPB=90°．先由菱形的性质求得∠OBP的度数，然后依据含30°直角三角形的性质证明即可；
（2）设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．先依据特殊锐角三角函数值求得BD的长，设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．当点E在AB上时．在Rt△BEM中，依据特殊锐角三角函数值可得到EM的长（用含r的式子表示），由图形的对称性可得到EF、ND、BM的长（用含r的式子表示，从而得到MN=18-6r，接下来依据矩形的面积列方程求解即可；当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18-3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；
（3）先根据题意画出符合题意的图形，①如图4所示，点E在AD上时，可求得DM=$\sqrt{3}$r，BM=3r，然后依据BM+MD=18，列方程求解即可；②如图5所示；依据图形的对称性可知得到OB=$\frac{1}{2}$BD；③如图6所示，可证明D与O重合，从而可求得OB的长；④如图7所示：先求得DM=$\sqrt{3}$r，OMB=3r，由BM-DM=DB列方程求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°．

∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∴OB=2OP．
∵OP=OM，
∴BO=2OP=2OM．
（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴BD=2BQ=2AB•cos∠ABQ=$\sqrt{3}$AB=18．
设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．
∵EF＞HE，
∴点E，F，G，H均在菱形的边上．
①如图2所示，当点E在AB上时．
在Rt△BEM中，EM=BM•tan∠EBM=$\sqrt{3}$r．
由对称性得：EF=2EM=2$\sqrt{3}$r，ND=BM=3r．
∴MN=18-6r．
∴S_矩形EFGH=EF•MN=2$\sqrt{3}$r（18-6r）=24$\sqrt{3}$．
解得：r₁=1，r₂=2．
当r=1时，EF＜HE，
∴r=1时，不合题意舍
当r=2时，EF＞HE，
∴⊙O的半径为2．
∴BM=3r=6．
如图3所示：

当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18-3r．
由对称性可知：NB=MD=6．
∴MB=3r=18-6=12．
解得：r=4．
综上所述，⊙O的半径为2或4．
（3）解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO=2r．
当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．
①如图4所示，点E在AD上时．

∵HE与⊙O相切，
∴ME=r，DM=$\sqrt{3}$r．
∴3r+$\sqrt{3}$r=18．
解得：r=9-3$\sqrt{3}$．
∴OB=18-6$\sqrt{3}$．
②如图5所示；

由图形的对称性得：ON=OM，BN=DM．
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=9．
③如图6所示．

∵HG与⊙O相切时，MN=2r．
∵BN+MN=BM=3r．
∴BN=r．
∴DM=$\sqrt{3}$FM=$\sqrt{3}$GN=BN=r．
∴D与O重合．
∴BO=BD=18．
④如图7所示：

∵HE与⊙O相切，
∴EM=r，DM=$\sqrt{3}$r．
∴3r-$\sqrt{3}$r=18．
∴r=9+3$\sqrt{3}$．
∴OB=2r=18+6$\sqrt{3}$．
综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为18-6$\sqrt{3}$或9或18或18+6$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、切线的性质、特殊锐角三角函数值的应用、矩形的面积公式，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．