Question

3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在线段BC上任取一点P，作PE⊥PD交AB于点E，与线段AB交于点E，则线段PC的范围是（　　）

• A． PC＞0
• B． 0＜PC＜12
• C． 3≤PC≤12
• D． 3＜PC＜12

Answer 1

分析 过点D作DF⊥BC于F点，分P点在F右侧和在线段BF上讨论，并比较当BE最大时是否有BE≤AB，由此得出结论．

解答 解：过点D作DF⊥BC于F点，如图，

①当P点在F点的右侧时，显然有∠DPB＜90°，E点在线段AB的延长线上，不符合题意，此时0≤PC＜3．
②当P点在线段BF中时，设BP=a，则PF=BF-BP=AD-BP=9-a，
∵∠BPE+∠EPD+∠DPF=180°，∠DPF+∠FDP=90°，
∴∠BPE=∠GDP，∠EBP=∠PFD=90°，
∴△BPE∽△FDP，
∴$\frac{BE}{BP}$=$\frac{PF}{FD}$，即BE=$\frac{9a-{a}^{2}}{10}$，
当a=$\frac{9}{2}$时，BE最大为$\frac{81}{40}$＜10=AB，
∵BE≥0，
∴0≤a≤9，PC=BC-a，
∴3≤PC≤12．
综合①②得知3≤PC≤12．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质定理，解题的关键是通过极值问题判定，当点P在线段BF上时，E点在线段AB上．