Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．

(1)求点C的坐标；

(2)如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)点C坐标为(3，3)；(2)≤n＜或n＝3.

【解析】

(1)根据题意分别求出点A、B、C的坐标；

(2)求得抛物线的对称轴，顶点的坐标；再分类讨论：①当n＞3时；②当n＝3时；③当0＜n＜3时，抛物线y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

解：(1)∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点A(0，﹣3)，

∴点A关于x轴的对称点B(0，3)，l为直线y＝3，

∵直线y＝2x﹣3与直线l交于点C，

∴点C坐标为(3，3)，

(2)∵抛物线y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)，

∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n(x﹣2)2+n(n＞0)

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，n)，

∵点B(0，3)，点C(3，3)，

①当n＞3时，抛物线的最小值为n＞3，与线段BC无公共点；

②当n＝3时，抛物线的顶点为(2，3)，在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；

③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；

如果抛物线y＝n(x﹣2)2+n经过点B，则3＝5n，解得n＝，

由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点(4，3)，

点(4，3)不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；

如果抛物线y＝n(x﹣2)2+n经过点C，则3＝2n，解得n＝，

由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点(1，3)，

点(1，3)在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；

综上所述，当≤n＜或n＝3时，抛物线与线段BC有一个公共点．