Question

6．在平行四边形ABC中，AD=$\sqrt{2}$，AB=2，∠A=45°，问AB边上是否存在一个点P，使得∠DPC=45°？若存在，请求出AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 存在．作DM⊥AB于M．首先证明，△ADB，△DBC的是等边三角形，推出BD=BC=AD=$\sqrt{2}$，以B为圆心BC画圆交AB于P，此时∠DPC=$\frac{1}{2}$∠DBC=45°，推出PB=BC=$\sqrt{2}$，由此即可解决问题．

解答 解：存在．理由如下，
如图，作DM⊥AB于M．

在Rt△ADM中，∵AD=$\sqrt{2}$，∠A=45°，
∴AM=DM=1，
∵AB=2，
∴AM=BM=DM=1，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥CB，
∴∠DBC=∠ADB=90°，△ADB，△DBC的是等腰直角三角形，
∴BD=BC=AD=$\sqrt{2}$，
以B为圆心BC画圆交AB于P，此时∠DPC=$\frac{1}{2}$∠DBC=45°，
∴PB=BC=$\sqrt{2}$，
∴AP=AB-PB=2-$\sqrt{2}$，

点评 本题考查平行四边形的性质，圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．