Question

如图，∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC，点E是BC的中点，EA⊥ED．
求证：（1）△ABE∽△ECD；
（2）∠EAD=∠EAB．

Answer 1

证明：（1）∵∠BAE+∠BEA=90°
∠DEC+∠BEA=90°
∴∠BAE=∠DEC
又∵∠ABE=∠ECD=90°
∴△ABE∽△ECD

（2）∵点E是BC的中点
∴
∵AB=BC∴
∵△ABE∽△ECD
∴
∵
∴
∵EA⊥ED
∴∠DEA=90°=∠ABC
∴△AED∽△ABE
∴∠EAD=∠EAB
分析：（1）由已知得∠BAE+∠BEA=90°，∠DEC+∠BEA=90°，等量代换得∠BAE=∠DEC，再由∠ABE=∠ECD=90°证得△ABE∽△ECD；
（2）由AB=BC，点E是BC的中点，，再由△ABE∽△ECD推出，已知EA⊥ED推出∠DEA=90°=∠ABC，所以△AED∽△ABE，从而得出∠EAD=∠EAB．
点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知证明角相等推出三角形相似；通过已知推出三角形相似得出角相等．