如图1.平面直角坐标系中有Rt△OAB.直角顶点A在y轴的正半轴上.顶点B在第一象限.OA=4.AB=2.抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c经过点A.B．(1)直接写出A.B两点的坐标.并求该抛物线的表达式,(2)如图2.将Rt△OAB绕点B逆时针旋转.得到Rt△CDB.其中点C与点A对应.点D与点O对应.当点D落在x轴的正半轴上时.求C.D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．如图1，平面直角坐标系中有Rt△OAB，直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，OA=4，AB=2，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c经过点A，B．

（1）直接写出A，B两点的坐标，并求该抛物线的表达式；
（2）如图2，将Rt△OAB绕点B逆时针旋转，得到Rt△CDB，其中点C与点A对应，点D与点O对应，当点D落在x轴的正半轴上时，求C，D两点的坐标．

分析（1）根据题意得到点A、B的坐标，把它们代入二次函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；
（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F．构建矩形AOFB，然后由旋转的性质来求点D的坐标；分别过点C、D作CE⊥AB，DG⊥OB，垂足分别是E、G．根据锐角三角函数定义得到：$\frac{CE}{DG}$=$\frac{CB}{DB}$，即OB•DG=OD•BF；在直角△AOB中，由勾股定理求得OB=BD=2$\sqrt{5}$，利用面积法求得DG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，所以CE=$\frac{8}{5}$，BE=$\sqrt{C{B}^{2}-C{E}^{2}}$，结合线段间的和差关系来求点C的坐标．

解答解：（1）由题意得到：A（0，4），B（2，4）．
将点A、B的坐标代入y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-2+2b+c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$．
故该二次函数解析式为：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+4；

（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F．
∴四边形AOFB是矩形，
∴OF=AB=2，BF=AO=4．
由旋转的性质可知，BD=OB，BC=BA=2，∠DBC=∠OBA，
∴OD=2OF=4，
∴点D的坐标是（4，0）．分别过点C、D作CE⊥AB，DG⊥OB，垂足分别是E、G．
∴∠CEB=∠BGD=90°，
∴$\frac{CE}{DG}$=$\frac{CB}{DB}$．
在直角△AOB中，OB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$，
∵OB•DG=OD•BF，
∴DG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{CE}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，即CE=$\frac{8}{5}$，BE=$\sqrt{C{B}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∴点C的坐标为：（2-$\frac{6}{5}$，4-$\frac{8}{5}$），即（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

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