Question

如图∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.

(1)求证：∠FMC=∠FCM;

(2)AD与MC垂直吗？并说明理由.

Answer 1

（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，

∴DF⊥AE,DF=AF=EF.

又∵∠ABC=90°，∠DCF,∠AMF都与∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AMF.

又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.

∴CF=MF,∴∠FMC=∠FCM.

(2)AD⊥MC.理由如下：

由(1)知∠MFC=90°,FD=FE,FM=FC，

∴∠FDE=∠FMC=45°,

∴DE∥CM，∴AD⊥MC.