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【题目】如图,直线x轴,y轴分别交于BC两点,抛物线 经过BC两点,点A是抛物线与x轴的另一个交点.

(1)求出点B和点C的坐标.

(2)求此抛物线的函数解析式.

(3)在抛物线x轴上方存在一点P(不与点C重合),使,请求出点P的坐标.

【答案】(1)B(3,0), C(0,3) (2)(3)P(2,3)

【解析】(1)已知了过B、C两点的直线的解析式,当x=0时可求出C点的坐标,当y=0是可求出B点的坐标.
(2)由于抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式.
(3)根据(2)的抛物线的解析式可得出A点的坐标,由此可求出AB的长,由于S△PAB=S△CAB,而AB边为定值.由此可求出P点的纵坐标,然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标.

解:(1)因为B,C分别在x轴和y轴上,令x=0,则y=3,令y=0,则x=3,

故C(0,3)、B(3,0)

(2)把B、C两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得c=3,-9+3b+3=0,

解出:c=3,b=2,

故抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;

(3) 因为点A在抛物线上,又在x轴负半轴,所以求得点A坐标(-1,0)

所以AB=4

得出

此时P点的纵坐标须为3或-3

P点在抛物线上,则:3=-x2+2x+3或-3=-x2+2x+3,

由3=-x2+2x+3解得x=0(此时不存在三角形,舍去)或x=2,此时,P坐标为P1(2,3)

由-3=-x2+2x+3解得x=或x=,此时P坐标为P2(,-3) ,P3,-3)

综上所述,存在点P,使,坐标分别为P1(2,3), P2(,-3) ,P3,-3)

“点睛”难度系数较大,中考常见题目,考查一次函数及二次函数图象上点的坐标特征,二次函数解析式的确定以及图形面积的求法,注意点P存在不同情况,须要考生分类讨论.

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