Question

10．已知二次函数y=（x-1）（x-a-1）（a为常数，且a＞0）．
（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图象总经过x轴上一定点；
（2）设该函数图象与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，△ABC的面积为1．
①求a的值；
②D是该函数图象上一点，且点D的横坐标是m，若S_△ABD=$\frac{1}{8}$S_△ABC，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得对应方程的两根，可求得二次函数与x轴的交点，可证得结论；
（2）①结合（1）可用a表示出AB、OC，从而可表示出△ABC的面积，可求得a的值；②由①可得到抛物线的解析式，用m表示出D到AB的距离，可表示出△ABD的面积，可得到关于m的方程，可求得m的值．

解答 （1）证明：
令y=0，则（x-1）（x-a-1）=0．
解得x₁=1，x₂=1+a．
∴二次函数的图象与x轴的交点为（1，0）、（1+a，0）．
∴不论a为何值，该二次函数的图象经过x轴上的定点（1，0）．
（2）解：
①由题意得，AB=a，OC=1+a（a＞0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$a（a+1）．
∴$\frac{1}{2}$a（a+1）=1．
解得a₁=1，a₂=-2（舍去）．
∵a＞0，
∴a=1． 
②由①可得抛物线为y=x²-3x+2，
令y=0可得0=x²-3x+2，解得x=1或x=2，
∴AB=1，
由于D点在抛物线上，故可设D点坐标为（m，m²-3m+2），
∴D到AB的距离为h=|m²-3m+2|，且S_△ABC=1，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$×1×|m²-3m+2|=$\frac{1}{8}$，
整理可得|m²-3m+2|=$\frac{1}{4}$，
当m²-3m+2=$\frac{1}{4}$时，解得m=$\frac{3±\sqrt{2}}{2}$，当m²-3m+2=-$\frac{1}{4}$时，解得m=$\frac{3}{2}$，
∴m的值为$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴的交点横坐标是对应一元二次方程的两根是解题的关键．