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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(0,α),B(b,α),且α、b满足(a﹣2)2+|b﹣4|=0,现同时将点A,B分别向下平移2个单位,再向左平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,AB.

(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD
(2)在y轴上是否存在一点M,连接MC,MD,使SMCD=S四边形ABDC?若存在这样一点,求出点M的坐标,若不存在,试说明理由.
(3)点P是线段BD上的一个动点,连接PA,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合) 的值是否发生变化,并说明理由.

【答案】
(1)

解:∵(a﹣2)2+|b﹣4|=0,

∴a=2,b=4,

∴A(0,2),B(4,2).

∵将点A,B分别向下平移2个单位,再向左平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,

∴C(﹣1,0),D(3,0).

∴S四边形ABDC=AB×OA=4×2=8


(2)

解:在y轴上存在一点M,使SMCD=S四边形ABCD.设M坐标为(0,m).

∵SMCD=S四边形ABDC

×4|m|=8,

∴2|m|=8,

解得m=±4.

∴M(0,4)或(0,﹣4)


(3)

解:当点P在BD上移动时, =1不变,理由如下:

过点P作PE∥AB交OA于E.

∵CD由AB平移得到,则CD∥AB,

∴PE∥CD,

∴∠BAP=∠APE,∠DOP=∠OPE,

∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO,

=1.


【解析】(1)先由非负数性质求出a=2,b=4,再根据平移规律,得出点C,D的坐标,然后根据四边形ABDC的面积=AB×OA即可求解;(2)存在.设M坐标为(0,m),根据SPAB=S四边形ABDC , 列出方程求出m的值,即可确定M点坐标;(3)过P点作PE∥AB交OC与E点,根据平行线的性质得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO,故比值为1.
【考点精析】本题主要考查了平行线的性质的相关知识点,需要掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补才能正确解答此题.

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