Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD与x轴的交点为E，解析式为y=-x-3，线段CD的长为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使经过P点的直线恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）将（2）中的△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN （点M，Q，N分别与点A，O，F对应），使点M，N在抛物线上，则点M，N的坐标分别为M________，N________．

Answer 1

解：（1）作DW⊥x轴，CW⊥y轴交于W点．
CW=•cos∠DCW=1．DW=•sin∠DCW=1．
∴C点坐标为（0，-3），D点坐标为（1，-4），
由顶点式可得抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；


（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，
根据二次函数解析式可得：A（-1，0），
由直线CD的解析式可知：E（（-3，0），
∵C（-3，0），
∴∠AEH=45°，
∴△OEH是等腰三角形，
∵OH⊥EC，
∴H点的坐标是（-1.5，-1.5）
∵AF∥CD，
∴∠OAF=45°，
∴G（-0.5，-0.5），
∵M是GH的中点，
∴M（-1，-1），求出BM的解析式y=x-，
此解析式与抛物线的一个交点就是要求的P（-，-）．

（3）△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，
则直线MN的解析式为y=x+b，
∵MN=AF，
∴M（1，-4），N（2，-3）．
分析：（1）根据三角函数求出抛物线与y轴的交点C，顶点D的坐标，由顶点式可得抛物线的解析式；
（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，求出BM的解析式，找到此解析式与抛物线的另一个交点，即为所求；
（3）找到△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，M，N在抛物线上，求出与AF垂直的点M，N的坐标即可．
点评：本题考查了函数综合知识，函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现．解决函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程．