精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它由四个全等的直角三角形拼接而成.点E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,点M,N,P,Q分别是HE,EF,FG,GH上的中点,且四边形MNPQ是正方形,已知正方形ABCD的面积为20,则正方形MNPQ的面积是
2
2

分析:由E为AF的中点,得到AE为AF的一半,由题意得到AE为DE的一半,根据正方形ABCD的面积求出边长,在直角三角形AED中,设AE=x,则DE=2x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出正方形EFGH的边长,进而求出它的面积,根据正方形MNQP为正方形EFGH的中点四边形,面积为正方形EFGH的一半,求出即可.
解答:解:∵E为AF的中点,DE=AF,
∴AE=
1
2
DE,
∵正方形ABCD面积为20,∴AD=2
5

在Rt△ADE中,设AE=x,则DE=2x,
根据勾股定理得:AD2=AE2+DE2,即20=x2+4x2
解得:x=2,
∴AE=EF=2,
∴正方形EFGH的面积为4,
∵正方形MNQP为正方形EFGH的中点四边形,
∴正方形MNQP的面积为2.
故答案为:2
点评:此题考查了勾股定理的证明,涉及的知识有:勾股定理,中点四边形的性质,以及正方形面积公式的应用,利用了方程的思想,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形,写出勾股定理内容;
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积进行了证明.著名数学家华罗庚提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.
请根据图1中直接三角形叙述勾股定理.
精英家教网
以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2).请你利用图2,验证勾股定理;
利用图2中的直角梯形,我们可以证明
a+b
c
2
.其证明步骤如下:
∵BC=a+b,AD=
 

又∵在直角梯形ABCD中有BC
 
AD(填大小关系),即
 

a+b
c
2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3. 若S1+S2+S3=15,则S2的值是
5
5

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(分别用文字语言及符号语言叙述);
[尝试证明]
它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明.现以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理;
[知识拓展]
如图3所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,已知A、B到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,现设计两种方案:
方案一:如图4所示,AP⊥l于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP.
方案二:如图5所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP.①在方案一中,a1=
x+3
x+3
km(用含x的式子表示)
②在方案二中,a2=
x2+48
x2+48
km(用含x的式子表示)
③请你分析:要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.

查看答案和解析>>

同步练习册答案