Question

如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE．
（1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF的度数；
（2）若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∠AEF的度数是90°．

（2）都成立．以图2为例证明．
证明：如图①，延长AE交BC的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，∠DAE=∠G，
∵E为DC的中点，
∴DE=EC，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AE=GE，
∵∠FAE=∠DAE，
∴∠FAE=∠G，
∴FA=FG，
∴EF⊥AE．
∴∠AEF=90°．
分析：（1）根据图象观察或测量得到∠AEF的度数即可；
（2）延长AE交BC的延长线于点G，根据平行线的性质得到∠D=∠ECG，∠DAE=∠G，根据AAS证出△ADE≌△GCE，推出AE=GE，证出FA=FG，根据等腰三角形的性质即可推出答案．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，梯形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．