Question

1．如图，矩形ABCD中，BC=6，P，Q是边AD上的动点，PQ=2，△BPE和△CQE均为等腰直角三角形（点B，P，E和C，Q，E均按逆时针顺序排列），∠BPE=∠CQF=Rt∠，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先过E作EG⊥AD于G，作FH⊥AD于H，依据△QFH≌△CQD，可得FH=DQ；依据△EGP≌△APB，可得EG=AP，再根据AP+DQ=4，即可得出EG+FH=4，最后根据阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$PQ×EG+$\frac{1}{2}$PQ×FH=$\frac{1}{2}$PQ×（EG+FH），进行计算即可．

解答 解：如图所示，过E作EG⊥AD于G，作FH⊥AD于H，
∵△CFQ是等腰直角三角形，∠D=90°，
∴∠QHF=∠CDQ=90°，QF=CQ，∠FQH=∠QCD，
∴△QFH≌△CQD，
∴FH=DQ，
∵△BEP是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴∠EGP=∠A=90°，EP=PB，∠GEP=∠APB，
∴△EGP≌△APB，
∴EG=AP，
又∵BC=6=AD，PQ=2，
∴AP+DQ=6-2=4，
∴EG+FH=4，
∴阴影部分的面积=△EPQ的面积+△FPQ的面积
=$\frac{1}{2}$PQ×EG+$\frac{1}{2}$PQ×FH
=$\frac{1}{2}$PQ×（EG+FH）
=$\frac{1}{2}$×2×4
=4，
故选：B．

点评 本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用等腰直角三角形，作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算．