Question

10．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（　　）

• A． 3
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． 4

Answer 1

分析 解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK=FK=1，NP=3，PF=2，利用勾股定理可得MN的长；
解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明△EMF≌△CMD，则EM=CM，利用勾股定理得：BD=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，EC=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，可得△EBG是等腰直角三角形，分别求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得△EMC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．

解答 解：解法一：如图1，过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PM于H，
则MK∥EF∥NP，
∵∠MKP=∠MHP=∠HPK=90°，
∴四边形MHPK是矩形，
∴MK=PH，MH=KP，
∵NP∥EF，N是EC的中点，
∴$\frac{CP}{PF}=\frac{CN}{EN}=1$，$\frac{NP}{EF}=\frac{CN}{EC}=\frac{1}{2}$，
∴PF=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$BE=2，NP=$\frac{1}{2}$EF=3，
同理得：FK=DK=1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=45°，
∴△MKD是等腰直角三角形，
∴MK=DK=1，NH=NP-HP=3-1=2，
∴MH=2+1=3，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN=$\sqrt{N{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
解法二：如图2，连接FM、EM、CM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，BC=CD，
∵EF∥BC，
∴∠GFD=∠BCD=90°，EF=BC，
∴EF=BC=DC，
∵∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
∴△GFD是等腰直角三角形，
∵M是DG的中点，
∴FM=DM=MG，FM⊥DG，
∴∠GFM=∠CDM=45°，
∴△EMF≌△CMD，
∴EM=CM，
过M作MH⊥CD于H，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
EC=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵∠EBG=45°，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴EG=BE=4，
∴BG=4$\sqrt{2}$，
∴DM=$\sqrt{2}$
∴MH=DH=1，
∴CH=6-1=5，
∴CM=EM=$\sqrt{{1}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∵CE²=EM²+CM²，
∴∠EMC=90°，
∵N是EC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$EC=$\sqrt{13}$；
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明△EMC是直角三角形．