Question

5．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]=$\frac{1}{2}$x²的解为（　　）

• A． 0或$\sqrt{2}$
• B． 0或2
• C． 1或$-\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据新定义和函数图象讨论：当1≤x＜2时，则$\frac{1}{2}$x²=1；当-1≤x≤0时，则$\frac{1}{2}$x²=0，当-2≤x＜-1时，则$\frac{1}{2}$x²=-2，然后分别解关于x的一元二次方程即可．

解答 解：当1≤x＜2时，$\frac{1}{2}$x²=1，解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$；
当x=0，$\frac{1}{2}$x²=0，x=0；
当-1≤x＜0时，$\frac{1}{2}$x²=-1，方程没有实数解；
当-2≤x＜-1时，$\frac{1}{2}$x²=-2，方程没有实数解；
所以方程[x]=$\frac{1}{2}$x²的解为0或$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的大小比较．