Question

15．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P₁（$\frac{1}{2}$，0），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$），P₃（$\frac{5}{2}$，0）中，⊙O的关联点是P₂，P₃．
②点P在直线y=-x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据点P₁（$\frac{1}{2}$，0），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$），P₃（$\frac{5}{2}$，0），求得OP₁=$\frac{1}{2}$，OP₂=1，OP₃=$\frac{5}{2}$，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，-x），根据两点间的距离公式即可得到结论；
（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（-2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1-$\sqrt{2}$，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2$\sqrt{2}$，0），于是得到结论．

解答 解：（1）①∵点P₁（$\frac{1}{2}$，0），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$），P₃（$\frac{5}{2}$，0），
∴OP₁=$\frac{1}{2}$，OP₂=1，OP₃=$\frac{5}{2}$，
∴P₁与⊙O的最小距离为$\frac{3}{2}$，P₂与⊙O的最小距离为1，OP₃与⊙O的最小距离为$\frac{1}{2}$，
∴⊙O，⊙O的关联点是P₂，P₃；
故答案为：P₂，P₃；
②根据定义分析，可得当最小y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，
∴设P（x，-x），当OP=1时，
由距离公式得，OP=$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x-0）^{2}}$=1，
∴x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当OP=3时，OP=$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x-0）^{2}}$=3，
解得：x=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
∴点P的横坐标的取值范围为：-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$≤x≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，1），
如图1，

当圆过点A时，此时，CA=3，
∴C（-2，0），
如图2，

当直线AB与小圆相切时，切点为D，
∴CD=1，
∵直线AB的解析式为y=-x+1，
∴直线AB与x轴的夹角=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∴C（1-$\sqrt{2}$，0），
∴圆心C的横坐标的取值范围为：-2≤x_C≤1-$\sqrt{2}$；
如图3，

当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），
如图4，

当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，
∴OC=$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
∴C（2$\sqrt{2}$，0）．
∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x_C≤2$\sqrt{2}$；
综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：-2≤x_C≤1-$\sqrt{2}$或2≤x_C≤2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．