Question

如图，AB为⊙O直径，D为

BC

的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）求证：OD⊥DE；
（2）已知DF=3，AE=6，求AD长．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理和圆的半径相等即可证明∠ODE=90°，即OD⊥DE；
（2）由（1）可知AD为∠EAB的角平分线，利用角平分线的性质：到角的两边距离相等和勾股定理即可求出AD的长．

解答：（1）证明：∵D为

BC

的中点，
∴∠1=∠2，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵DE⊥AC于E，
∴∠1+∠EDA=90°，
∴∠3+∠EDA=90°，
∴OD⊥DE；

（2）解：由（1）知∠1=∠2，
又∵DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
∴DE=DF=3，
∵AE=6，
∴在Rt△AED中，AD=

AE2+DE2

=

45

=3

5

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了角平分线的性质以及勾股定理的运用．