Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2mx+m²-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），与y轴的交点坐标为（0，-5）．点M是线段AB上的任意一点，过点M（a，0）作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D（C，D不重合），点P是线段MC上一点，连结CD，BD，PD．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，问点P在什么位置时，能使得PD⊥BD；
（3）若点P满足，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²-2mx+m²-9与y轴交点坐标为（0，-5），
∴-5=m²-9．
解得：m=±2．
当m=-2，y=0时，x²+4x-5=0
解得：x₁=-5，x₂=1，
∵抛物线y=x²-2mx+m²-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m=-2不符合题意，舍去．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=x²-4x-5；

（2）过D点作DF⊥x轴于点F，
∴∠DFB=90°
∵MC⊥x轴，
∴∠CMB=90°，
∴∠CMB=∠DFB．
∴CM∥DF．
∵C、D关于抛物线的对称轴对称，
∴CD∥x轴，
∴∠MCD=∠CDF=∠CDP+∠PDF=90°
∵PD⊥BD，
∴∠PDB=∠PDF+∠FDB=90°
∴∠PDC=∠BDF．
∵∠PCD=∠BFD=90°，
∴△PCD∽△BFD．
∴．
当x=1时，y=-8，
∴C（1，-8），D（3，-8），F（3，0），B（5，0），
设P（1，y），
∴．
解得：．
∴当P的坐标为时，PD⊥BD；

（3）假设E点存在，∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，
，
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC．
设C（x₀，y₀），则D（4-x₀，y₀），．
∴．
∵点C在抛物线y=x²-4x-5上；
∴y₀═x₀²-4x₀-5
∴．
当时，
解得：x₀₁=3，x₀₂=-7（舍去），
当时，
解得：x₀₃=1，x₀₄=11（舍去），
∴x₀=1或x₀=3．
∴P（1，-2）或P（3，-2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）或E（-3，0）．
分析：（1）直接将C点（0，-5）代入y=x²-2mx+m²-9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），求出m的值即可；
（2）过D点作DF⊥x轴于点F，根据直角三角形的性质可以得出∠PDC=∠BDF，从而可以求出△PCD∽△BFD，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，设C（x₀，y₀），则D（4-x₀，y₀），．根据PM=DC就有，由C点在抛物线上有，分两种情况求出x₀的值就可以得出结论．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时先运用待定系数法求出解析式是关键，解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点．