Question

如图1，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，过点O的动直线EF分别交AD于点E，交BC于点F．
（1）线段OE

 

OF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，若动直线EF分别与AD、CB的延长线相交于点E、F时，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求证：AF=CE．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行线的性质推出∠AEO=∠CFO，∠DEO=∠BFO，根据AAS能推出△AOE≌△COF，则该全等三角形的对应边相等，即OE=OF；
（2）（1）中的结论还成立；同（1），根据AAS能推出△AOE≌△COF，则该全等三角形的对应边相等，即OE=OF；
（3）如图2，连接AF、CE．由（2）中的全等三角形的对应边相等证得AE=CF，则四边形AECF是平行四边形，故AF=EC．

解答：（1）解：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵在△AOE和△COF中，

∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF OA=OC

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
故填：=；

（2）解：（1）的结论还成立．理由如下：
如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，动直线EF分别与AD、CB的延长线相交于点E、F，
∴AD∥BC即AE∥FC，OA=OC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵在△AOE和△COF中，

∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF OA=OC

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（3）证明：如图，连接AF、CE．由（2）知，△AOE≌△COF，则AE=CF．
又∵AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=EC．

点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分，全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS等，本题主要考查了学生运用定理进行推理的能力．