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已知x1、x2是抛物线y=x2-2(m-1)x+m2-7与x轴的两个交点的横坐标,且x12+x22=10.
求:(1)x1、x2的值;
(2)抛物线的顶点坐标.
分析:(1)由题意x1、x2是抛物线y=x2-2(m-1)x+m2-7与x轴的两个交点的横坐标,根据根与系数的关系,写出两根之积与两根之和,再根据x12+x22=10,求出m的值,从而求出x1、x2的值;
(2)由(1)求出函数的解析式,然后再根据函数的顶点坐标公式来求解.
解答:解:(1)抛物线y=x2-2(m-1)x+m2-7与x轴有两个交点,
∴当x2-2(m-1)x+m2-7=0时,由根与系数的关系得
x1+x2=2(m-1)
x1x2=m2-7

则x12+x22=(x1+x22-2x1x2=2m2-8m+18
因为x12+x22=10,
所以2m2-8m+18=10,即x2-4x+4=0,
解之得m=2,
将m=2代入x2-2(m-1)x+m2-7=0得方程x2-2x-3=0,
解这个方程得x1=-1,x2=3,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;

(2)因为x1,x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标,
所以抛物线的对称轴为x=1,
将x=1代入抛物线y=x2-2x-3,得y=-4,
所以抛物线的顶点坐标为(1,-4).
点评:主要考查根与系数的关系及一元二次方程与函数的关系,函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根,还考查了函数的对称轴及顶点坐标公式.
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