Question

8．已知二次函数y=ax²-4ax（a＞0），小明给出了四个判断：①对称轴是x=2；②图象与坐标轴只有两个交点；③方程ax²-4ax-2=0一定有实数根；④当x≤3时，y随x的增大而减小．其中正确的判断是（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据抛物线的对称轴公式判断①；求出ax²-4ax=0的判别式△=16a²＞0，得出图象与x轴有两个交点，又图象过原点，得到图象与坐标轴只有两个交点，即可判断②；计算方程ax²-4ax-2=0的判别式△的值，即可判断③；根据二次函数的增减性判断④．

解答 解：①二次函数y=ax²-4ax（a＞0），
∴对称轴是x=$\frac{4a}{2a}$=2，故①正确；
②∵△=16a²＞0，
∴图象与x轴有两个交点，
又∵x=0时y=0，即图象过原点，
∴图象与y轴交点是原点，
∴图象与坐标轴只有两个交点，故②正确；
③∵方程ax²-4ax-2=0的判别式△=16a²+8a，而a＞0，
∴△＞0，
∴方程ax²-4ax-2=0一定有实数根，故③正确；
④∵二次函数y=ax²-4ax（a＞0）开口向上，对称轴是x=2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小是错误的，故④错误．
故选D．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质是解题的关键．