Question

20．为积极支持鄂州市创建国家卫生城市工作，某商家计划从厂家采购A，B两种清洁产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的相关信息如下表所示．

采购数量（件）	2	4	6	…
A产品单价（元）	1460	1420	1380	…
B产品单价（元）	1280	1260	1240	…

（1）设B产品的采购数量为x（件），采购单价为y₁（元/件），求y₁与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的$\frac{11}{9}$，且B产品采购单价不高于1250元，求该商家共有几种进货方案？
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大？并求最大利润．

Answer 1

分析 （1）设y₁与x的关系式y₁=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函数关系式即可求出；
（2）首先根据题意求出x的取值范围，结合x为整数，即可判断出商家的几种进货方案；
（3）令总利润为W，根据利润=售价-成本列出W与x的函数关系式W=30x²-660x+13200，把一般式写成顶点坐标式，求出二次函数的最值即可．

解答 解：（1）设y₁=kx+b，
根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1280}\\{4k+b=1260}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=1300}\end{array}\right.$，
∴y₁=-10x+1300；

（2）根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{20-x≥\frac{11}{9}x}\\{-10x+1300≤1250}\end{array}\right.$，
解得：5≤x≤9，
∵x为整数，
∴x可取的整数值为5、6、7、8、9，
∴该商家共有5种进货方案．

（3）设A产品的销售单价y₂与销售数量a之间的函数关系式为y₂=ma+n，
由题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1460}\\{4m+n=1420}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-20}\\{n=1500}\end{array}\right.$，
则y₂=-20a+1500，
∵a=20-x，
∴y₂=-20（20-x）+1500=20x+1100，
令总利润为W，
则W=（1760-y₂）（20-x）+（1700-y₁）x
=（1760-20x-1100）（20-x）+（1700+10x-1300）x
=30x²-660x+13200
=30（x-11）²+9570，
∵当x＜11时，W随x的增大而减小，
∴当x=5时，W取得最大值，最大值为30×36+9570=10650，
此时A产品的销售数量20-x=15，
答：采购A种产品15件时总利润最大，最大利润为10650元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．