【题目】已知:为⊙的直径,,弦,直线与相交于点,弦在⊙上运动且保持长度不变,⊙的切线交于点.
(1)如图1,若,求证:;
(2)如图2,当点运动至与点重合时,试判断与是否相等,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)相等
【解析】
试题分析:(1)如图1,连接OD、OE,证得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等边三角形,进一步证得DF⊥CE即可证得结论;
(2)根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论.
试题解析:(1)如图1,连接OD、OE,
∵AB=2,
∴OA=OD=OE=OB=1,
∵DE=1,
∴OD=OE=DE,
∴△ODE是等边三角形,
∴∠ODE=∠OED=60°,
∵DE∥AB,
∴∠AOD=∠ODE=60°,∠EOB=∠OED=60°,
∴△AOD和△△OE是等边三角形,
∴∠OAD=∠OBE=60°,
∴∠CDE=∠OAD=60°,∠CED=∠OBE=60°,
∴△CDE是等边三角形,
∵DF是⊙O的切线,
∴OD⊥DF,
∴∠EDF=90°﹣60°=30°,
∴∠DFE=90°,
∴DF⊥CE,
∴CF=EF;
(2)相等;
如图2,点E运动至与点B重合时,BC是⊙O的切线,
∵⊙O的切线DF交BC于点F,
∴BF=DF,
∴∠BDF=∠DBF,
∵AB是直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴∠FDC=∠C,
∴DF=CF,
∴BF=CF.
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【题目】下列条件中,不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A. 三个角的比为1:2:3 B. 三条边满足关系a2=b2﹣c2
C. 三条边的比为1:2:3 D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
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【题目】如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E,交AC于F,连接BF,∠A=50°,AB+BC=16cm,△BCF的周长和∠EFC分别等于( )
A.16cm,40°
B.8cm,50°
C.16cm,50°
D.8cm,40°
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【题目】若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0(a≠0)的一个根,则2019﹣2a+2b的值等于( )
A.2015B.2017C.2019D.2022
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【题目】据统计,2016年石家庄外环线内新栽植树木6120000株,将6120000用科学记数法表示为( )
A.0.612×107
B.6.12×106
C.61.2×105
D.612×106
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【题目】网购成为时下最热的购物方式,同时也带动了快递业的发展.某快递公司更新了包裹分拣设备后,平均每人每天比原先要多分拣50件包裹,现在分拣600件包裹所需的时间与原来分拣450件包裹所需时间相同,现在平均每人每天分拣多少件包裹?
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【题目】如图1,抛物线经过平行四边形的顶点、、,抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点,设点的横坐标为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当何值时,的面积最大?并求最大值的立方根;
(3)是否存在点使为直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】为了了解某校九年级学生的跳高水平,随机抽取该年级50名学生进行跳高测试,并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).
某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表
组别(m) | 频数 |
1.09~1.19 | 8 |
1.19~1.29 | 12 |
1.29~1.39 | A |
1.39~1.49 | 10 |
(1)求a的值,并把频数直方图补充完整;
(2)该年级共有500名学生,估计该年级学生跳高成绩在1.29m(含1.29m)以上的人数.
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