Question

如图，点A在双曲线y=

k

x

上，且OA=6，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，△ABC的周长为2

13

，则k=

 

．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,勾股定理

专题：

分析：首先设点A的坐标为（x，y），由OA=6，可得x²+y²=36，由OA的垂直平分线交OC于B，△ABC的周长为2

13

，可得x+y=2

13

，继而求得k=xy的值．

解答：解：设点A的坐标为（x，y），
∵OA=6，
∴x²+y²=36，
∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∵△ABC的周长为2

13

，
∴AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=x+y=2

13

，
∴xy=

1

2

[（x+y）²-（x²+y²）]=8．
∵点A在双曲线y=

k

x

上，
∴k=8．
故答案为：8．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．