Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．

Answer 1

【答案】10+5

【解析】

取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．

如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．

∵∠AOB＝90°，

∴OM＝AB＝5．

同理ON＝5．

∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，

∴．

在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），

如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，

∴线段MG取最大值10+5．

故答案为：10+5．